私人诊所在遇到问题时，可以向以下部门投诉：
当地卫生局：
卫生局是医疗行业的主管部门，负责监管医疗服务质量和处理医疗纠纷。患者或家属首先应向当地的卫生局投诉，卫生局会承担监管医疗服务质量和处理医疗纠纷的职责。
卫生监督所：
如果涉及到医疗卫生机构的违规行为，例如乱收费，可以向当地的卫生监督所投诉。
生监机构：
私人小诊所最怕的投诉举报渠道是当地的生监机构，因为生监机构具有监管职能，可以对诊所进行监管和处罚。
12320卫生热线：
直接拨打12320卫生热线进行投诉，这是一个专门针对医疗卫生机构的举报电话。
医药监督管理局：
也可以向医药监督管理局投诉，该部门负责监管药品和医疗器械的使用。
医疗协会：
可以向当地的医疗协会进行投诉，医疗协会通常会协助解决医疗纠纷。
消费者协会：
如果涉及到消费问题，例如诊所的收费问题，可以向当地的消费者协会投诉，拨打12315热线。
人民法院：
如果通过协商、调解等方式无法解决纠纷，患者可以向人民法院提起诉讼。
建议患者在遇到医疗纠纷时，首先向当地卫生局投诉，并尝试通过多种途径解决问题，包括协商、调解和诉讼。同时，保留好相关证据，以便在需要时提供支持。